【考研考向量的混合积】在考研数学中，向量的混合积是一个重要的知识点，尤其在《高等数学》和《线性代数》中频繁出现。混合积不仅用于计算空间几何中的体积问题，还在向量运算、行列式计算等方面有广泛应用。本文将对考研中常见的向量混合积相关题型进行总结，并结合典型例题进行分析。
一、混合积的基本概念
定义：
设三个向量为 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，$\vec{c} = (c_1, c_2, c_3)$，则它们的混合积为：
$$
\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})
$$
其结果是一个标量，表示由这三个向量所构成的平行六面体的体积（绝对值）。
性质：
- 混合积的值与向量排列顺序有关，若交换任意两个向量的位置，则符号改变；
- 若三个向量共面，则混合积为0；
- 混合积可以写成三阶行列式形式：
$$
\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) =
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{vmatrix}
$$
二、考研常见题型与解法
| 题型 | 典型题目 | 解题思路 | 考查点 | ||
| 1. 计算混合积 | 已知 $\vec{a} = (1, 2, 3)$, $\vec{b} = (4, 5, 6)$, $\vec{c} = (7, 8, 9)$，求 $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ | 先计算 $\vec{b} \times \vec{c}$，再与 $\vec{a}$ 点乘 | 向量叉乘与点乘的计算 | ||
| 2. 判断共面 | 已知三点 $A(1, 2, 3)$, $B(4, 5, 6)$, $C(7, 8, 9)$，判断是否共面 | 构造向量 $\vec{AB}, \vec{AC}$，计算 $\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})$（若D为第四点） | 向量共面条件 | ||
| 3. 体积计算 | 由向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 构成的平行六面体体积为多少？ | 直接计算 $ | \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) | $ | 几何意义应用 |
| 4. 参数求解 | 已知 $\vec{a} = (1, 2, m)$, $\vec{b} = (3, 4, 5)$, $\vec{c} = (6, 7, 8)$，且混合积为0，求m | 建立方程 $ | \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) | = 0$，解出m | 向量共面与参数求解 |
三、典型例题解析
例题1：
已知 $\vec{a} = (1, 0, 2)$，$\vec{b} = (3, -1, 0)$，$\vec{c} = (0, 1, 1)$，求 $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$。
解：
先计算 $\vec{b} \times \vec{c}$：
$$
\vec{b} \times \vec{c} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
3 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(3 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(3 \cdot 1 - (-1) \cdot 0)
= -\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k}
$$
即 $\vec{b} \times \vec{c} = (-1, -3, 3)$。
再计算点积：
$$
\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (1, 0, 2) \cdot (-1, -3, 3) = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (-3) + 2 \cdot 3 = -1 + 0 + 6 = 5
$$
答案： 5
四、总结
向量的混合积是考研数学中一个高频考点，掌握其基本运算方法和几何意义对于解决相关问题非常关键。建议考生熟练掌握向量的叉乘与点乘运算，并能灵活运用到体积计算、共面判断等实际问题中。
通过不断练习典型例题，能够有效提升对混合积的理解与应用能力，为考研打下坚实基础。