【arctanx求导公式推导过程】在微积分中，反三角函数的求导是一个重要的知识点。其中，arctanx（即反正切函数）的导数是常见的求导问题之一。本文将通过数学推导的方式，详细展示arctanx的导数公式推导过程，并以表格形式总结关键步骤和结论。
一、基本概念
设 $ y = \arctan x $，表示的是正切值为 $ x $ 的角度，即：
$$
\tan y = x
$$
我们的目标是求出 $ \frac{dy}{dx} $，也就是 $ \frac{d}{dx}(\arctan x) $。
二、推导过程
1. 设变量关系：
设 $ y = \arctan x $，则根据定义有：
$$
\tan y = x
$$
2. 对两边关于 $ x $ 求导：
对等式两边同时对 $ x $ 求导，使用链式法则：
$$
\frac{d}{dx}(\tan y) = \frac{d}{dx}(x)
$$
左边使用链式法则：
$$
\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1
$$
3. 解出 $ \frac{dy}{dx} $：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}
$$
4. 利用三角恒等式化简：
根据恒等式 $ 1 + \tan^2 y = \sec^2 y $，代入得：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^2 y}
$$
5. 替换回原变量 $ x $：
因为 $ \tan y = x $，所以：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}
$$
三、推导结果总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设 $ y = \arctan x $，则 $ \tan y = x $ |
| 2 | 对两边对 $ x $ 求导，得到 $ \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 $ |
| 3 | 解出 $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} $ |
| 4 | 利用恒等式 $ \sec^2 y = 1 + \tan^2 y $ 化简 |
| 5 | 替换 $ \tan y = x $，最终得 $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2} $ |
四、结论
通过上述推导过程可以得出：
$$
\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
该公式广泛应用于微积分中的积分与微分计算中，尤其在处理含有反正切函数的表达式时非常有用。
原创声明： 本文内容基于标准数学推导过程编写，未直接复制网络资源，旨在帮助学习者理解arctanx导数的来源及逻辑。