【三角函数的公式大全】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程、计算机科学等领域。掌握三角函数的基本公式对于解决实际问题和深入学习数学知识具有重要意义。本文将对常见的三角函数公式进行系统总结，并以表格形式呈现，便于查阅与记忆。
一、基本定义
设一个直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则有：
| 函数 | 定义式 |
| 正弦（sin） | $\sin\theta = \frac{a}{c}$ |
| 余弦（cos） | $\cos\theta = \frac{b}{c}$ |
| 正切（tan） | $\tan\theta = \frac{a}{b}$ |
| 余切（cot） | $\cot\theta = \frac{b}{a}$ |
| 正割（sec） | $\sec\theta = \frac{c}{b}$ |
| 余割（csc） | $\csc\theta = \frac{c}{a}$ |
二、基本恒等式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 由正弦余弦推导而来 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 同上原理 |
| $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ | 正切与正弦余弦的关系 |
| $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ | 余切与正弦余弦的关系 |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变化 | 公式 |
| $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ | 奇函数性质 |
| $\cos(-\theta) = \cos\theta$ | 偶函数性质 |
| $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ | 对称性 |
| $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ | 对称性 |
| $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$ | 对称性 |
| $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$ | 对称性 |
| $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$ | 余角关系 |
| $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta$ | 余角关系 |
四、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ | 和差角公式 |
| $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ | 和差角公式 |
| $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$ | 和差角公式（适用于正切） |
五、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ | 两倍角公式 |
| $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ | 两倍角公式 |
| $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 两倍角公式 |
六、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 半角公式 |
| $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 半角公式 |
| $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ | 半角公式 |
七、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$ | 积化和差 |
| $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$ | 积化和差 |
| $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$ | 积化和差 |
八、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 和差化积 |
九、反三角函数简要公式
| 函数 | 表达式 |
| $\arcsin x$ | 定义域：[-1, 1]，值域：[-π/2, π/2] |
| $\arccos x$ | 定义域：[-1, 1]，值域：[0, π] |
| $\arctan x$ | 定义域：R，值域：(-π/2, π/2) |
总结
三角函数的公式繁多，但其核心思想在于描述角度与边长之间的关系，以及角度之间的变换规律。通过熟练掌握这些公式，可以更高效地处理与三角函数相关的数学问题。无论是初学者还是进阶学习者，都可以通过不断练习与应用，加深对三角函数的理解与运用能力。
希望这份“三角函数的公式大全”能够成为你学习和复习的有力助手。