【高中三角函数公式有哪些】在高中数学中，三角函数是重要的知识点之一，广泛应用于几何、物理以及工程等领域。掌握常见的三角函数公式，不仅有助于解题，还能提高对三角函数的理解和应用能力。以下是对高中阶段常见三角函数公式的总结，包括基本公式、诱导公式、和差角公式、倍角公式、半角公式等。
一、基本三角函数定义
| 函数名称 | 定义式（在直角三角形中） | 定义式（单位圆中） |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 | y / r |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 | x / r |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 | y / x |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 | x / y |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 | r / x |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 | r / y |
二、同角三角函数关系
| 公式 | 内容 |
| 平方关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
| 商数关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ |
| 倒数关系 | $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $ $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $ $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $ |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变化 | 公式 |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \sin(2\pi - \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(2\pi - \theta) $ | $ \cos\theta $ |
四、和差角公式
| 公式 | 内容 |
| 正弦和差 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 余弦和差 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 正切和差 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
| 公式 | 内容 |
| 正弦倍角 | $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角 | $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ $ = 2\cos^2\theta - 1 $ $ = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角 | $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
| 公式 | 内容 |
| 正弦半角 | $ \sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角 | $ \cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角 | $ \tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
七、积化和差与和差化积公式
| 类型 | 公式 |
| 积化和差 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ $ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ $ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)] $ |
| 和差化积 | $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ $ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ $ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
通过以上表格的整理，可以清晰地看到高中阶段所涉及的三角函数公式。这些公式是解决三角函数相关问题的基础工具，建议同学们在学习过程中多加练习，灵活运用。